Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner

Eksempel 7: Regning med parenteser og kvadratsetningene

8.-10. årstrinn

I dette eksempelet skal elevene multiplisere ut algebraiske uttrykk av typen (a+b)(a+b), (a-b)(a-b) og (a+b)(a-b) og se etter mønster og sammenhenger. De bruker kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk.

Kompetansemål det blir arbeidet med

Hovedområde Tal og algebra Eleven skal kunne

  • behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane
Forslag til læringsmål

Eksemplet tar for seg de delene av kompetansemålet som handler om parenteser og kvadratsetningene. For å bygge opp forståelse om kvadratsetningene bør elevene kunne regne sikkert med parenteser.

Eleven kan

  • multiplisere to parentesuttrykk med hverandre
  • se at produktet av to like parentesuttrykk danner et mønster, og kunne dette mønsteret utenat
  • regne ut uttrykk av typen (a+b)2, (a-b)2 og (a+b)(a-b) direkte
  • bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk med to eller tre ledd
Grunnleggende ferdigheter

Regneferdigheten viser en klar progresjon fra grunnleggende tallbehandling til at elevene bruker kvadratsetningene begge veier. Elevene formulerer regler for kvadratsetningene, både muntlig og skriftlig. De diskuterer forslagene i klassen og setter opp formler med matematiske symboler. Elevene leser og forstår formlene for kvadratsetningene.

Forkunnskaper og introduksjon:

Elevene bør kunne regne med, og trekke sammen bokstavuttrykk med parenteser. De bør kunne multiplisere sammen to parenteser med to ledd.

Utforsking og arbeid

Elevene utforsker og leter etter mønster og sammenhenger i algebraiske uttrykk. Be elevene multiplisere ut parentesene slik de har lært før, og trekke sammen uttrykkene nedenfor. I denne delen arbeider elevene individuelt.

(x+2)2 = (x+2)(x+2) =

(2x+3)2 = (2x+3)(2x+3) =

(x+b)2 = (x+b)(x+b) =

(a+3)2 = (a+3)(a+3) =

(og flere lignende stykker)

Elevene sitter sammen i par. Oppdrag til elevene:

  • Se nøye på alle svarene dere har fått. Hva er felles for alle svarene?
  • Se nøye på leddene i parentesen og sammenligne dem med leddene i de svarene du har kommet fram til etter sammentrekning av like ledd. Beskriv denne sammenhengen med egne ord.
  • Prøv sammen å formulere en regel som beskriver sammenhengen.
  • Lag en formel for uttrykket (a+b)2 ut fra reglen dere har funnet. Denne formelen kalles FØRSTE KVADRATSETNING.

Noen elever kan trenge litt hjelp for å komme i gang. Her er noen forslag til spørsmål for dem:

  • Hvor mange ledd blir det i svaret?
  • Se på koeffisienten foran leddene i svaret og sammenlign med leddene i de opprinnelige parentesene. Ser du noen sammenheng?

Gjenta samme opplegg med andre kvadratsetning og tredje kvadratsetning (konjugatsetningen).

Oppsummering og refleksjon

Diskuter ulike forslag fra elevene, og kom i fellesskap fram til sammenhengen: (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2

Beskrevet med ord: Kvadratet av første ledd, pluss det dobbelte produktet av første og andre ledd, pluss kvadratet av andre ledd.

Tilsvarende for andre og tredje kvadratsetning.

Presiser for elevene at fra nå av bør de bruke kvadratsetningene direkte, uten å multiplisere sammen på ”gamle måten”.

La elevene øve masse på kvadratsetningene før du fortsetter med det som står nedenfor.

Gjør lignende opplegg for å kunne bruke kvadratsetningene til å faktorisere uttrykk. Hjelp dem i gang med å finne ut hvordan de kan sjekke om et treleddet uttrykk er en kvadratsetning. For eksempel: x2 – 12x + 36

Dette kan være en kvadratsetning. Da må det i så fall være andre kvadratsetning, fordi det står minus foran 12x. √36 = 6, så da KAN det være (x-6)2. Vi må sjekke det midterste leddet. Hvis det er 2x6så stemmer det. Det er det! Men NB! Du bør prøve å få elevene til å tenke ut dette ved å bruke mønstrene de oppdaget i aktiviteten over.

Hvis du har elever som ikke klarer å se dette mønsteret, kan de få fortsette med å øve på å multiplisere ut parentesene på ”den gamle måten”. De kan også få alternative oppgaver til faktorisering av typen:

  • x2+3x = x(x+3)
  • 4x - 2 = 2(2x – 1)
  • 3x2 + 6x = 3x(x + 2)√
Underveisvurdering

I teksten over gir vi forslag om hvordan opplæringen kan tilpasses elever som trenger lengre tid for å nå læringsmålene. Å bruke kvadratsetningene motsatt vei kan by på store utfordringer for enkelte elever. For å kartlegge om elevene kan bruke kvadratsetningene begge veier, kan du bruke korte tester.

Her foreslår vi å bruke kjennetegn på høy måloppnåelse som vurderingsgrunnlag.

Eleven kan

  • multiplisere sammen to parenteser
  • bruke kvadratsetningene raskt og effektivt, begge veier
  • avgjøre om det er mulig å faktorisere uttrykk med to og tre ledd ved hjelp av kvadratsetningene, og kunne gjøre det hvis det er mulig

 

Fant du det du lette etter?

0/250
0/250

Tusen takk for hjelpen!