Eksempel 8: Potenser

Vg1, 1T

I dette eksempelet arbeider elevene med potenser med eksponent 0, negative eksponenter og brøkeksponenter gjennom utforsking og ulike tilnærminger. Elevene lager tankekart for å vise alle reglene for potensregning. De lager oppgaver selv og spiller «midt i blinken».

Kompetansemål det blir arbeidet med

Hovedområde Tal og algebra Eleven skal kunne

rekne med rotuttrykk, potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, faktorisere kvadratiske uttrykk, bruke kvadratsetningane og lage fullstendige kvadrat

Forslag til læringsmål

Her tar vi for oss den delen av kompetansemålet som omfattet potenser med rasjonal eksponent.

Eleven kan

bruke kjente regneregler for potenser til å forstå at det går an å utvide reglene slik at de gjelder når eksponenten er 0, et negativt tall eller en brøk
bruke regnereglene for potenser for alle typer rasjonale tall (hele tall og brøker)

Grunnleggende ferdigheter

Progresjonen i regneferdigheten går fra grunnleggende regning med heltallige og positive eksponenter til å kunne regne med potenser for alle typer rasjonale tall. Elevene forklarer reglene. De leser oppgavetekst og skriver oppgaver. Progresjonen i muntlige og skriftlige ferdigheter og i leseferdigheter består i at elevene forstår og bruker mer avanserte matematiske symboler og begreper.

Forkunnskaper og introduksjon

Elevene bør kjenne potensnotasjonen og forstå hva det betyr. De bør kunne bruke regnereglene for potenser med positive heltallige eksponenter og forklare hvorfor

a^m ⋅ aⁿ = a^m+n
a^m⁄aⁿ = a^m-n
(a^m)ⁿ = a^m⋅n

Hvis du starter med å bruke talleksempler, vil flere elever kunne forklare reglene. For eksempel:

2³⋅ 2⁴ =
3⁵⁄3² =
(4²)³ =

Deretter velger du en bokstav som grunntall og ber dem forklare. Til slutt bør elevene forklare de generelle reglene foran.

Utforsking og arbeid

Del 1:

Utvidelse av potensbegrepet, eksponent 0.

Be elevene regne ut 5³⁄5³ på to måter, først ved å regne ut tallene i telleren og nevneren og forkorte og deretter ved å bruke potensreglene for divisjon.

Elevene vil komme fram til at den første metoden gir svaret 1, mens den andre gir svaret 5⁰.

Hvordan tolker vi dette?

Prøv med andre eksempler, med andre grunntall og eksponenter, både tall og bokstaver. Be elevene forklare hva de kommer fram til.

Hvilke svar gir de to metodene?
Hva er likt hver gang, og hva er forskjellig?

Elevene vi si at første metode gir 1 til svar, mens andre metode gir ulike grunntall med eksponent 0.

Forklar for elevene: Matematikere vil at potensreglene skal gjelde. Hvordan kan dette løses? Matematikere løser det ved å si: Vi bestemmer at ethvert tall opphøyd i 0 skal være 1. Dette er en DEFINISJON, til forskjell fra potensreglene dere har lært før. De FØLGER av definisjonen på en potens.

Del 2:

Utvidelse av potensbegrepet, negative eksponenter.

Be elevene regne ut 5²⁄5⁴ på to måter, først ved å regne ut tallene i telleren og nevneren og forkorte og deretter ved å bruke potensreglene for divisjon.

Elevene vil komme fram til at den første metoden gir svaret 1⁄5² =1/25 , mens den andre gir svaret 5^-2.

Hvordan tolker vi dette?

Prøv med andre eksempler, med andre grunntall og eksponenter, både tall og bokstaver. Be elevene forklare hva de kommer fram til.

Hvilke svar gir de to metodene?
Hva er likt hver gang, og hva er forskjellig?

Elevene vi si at grunntallet og eksponenten har samme tallverdi i de to metodene, men den ene gir en brøk med teller 1, og den andre gir en potens med negativ eksponent.

Forklar for elevene: Matematikere vil at potensreglene skal gjelde. Hvordan kan dette løses? Matematikere løser det ved å si: Vi bestemmer at ethvert tall opphøyd i et negativt tall skal bety 1 delt på den samme potensen med tilsvarende positivt tall i eksponenten. Igjen er dette en DEFINISJON, til forskjell fra potensreglene dere har lært før. De følger av definisjonen på en potens.

Del 3:

Utvidelse av potensbegrepet, brøkeksponenter.

Spør elevene: Hvordan kan vi gi uttrykket 4^1⁄2 noen mening?

Hvis dette tallet opphøyes i 2, kan vi bruke potensregelen vi kan fra før:

(4^1⁄2)² =4 ^1⁄2∙2 = 4¹= 4

eller (4^1⁄2)² = 4 ^1⁄2∙∙ 4 ^1⁄2∙ = 4^{1⁄2+1⁄2∙} = 4¹ = 4

Hvilket tall kan 4^1⁄2 være da? Det må være et tall som opphøyd i andre er 4. Men det er jo √4 (som er 2)!

Gjør tilsvarende med andre grunntall. Bli enige med elevene om at da må det være riktig å definere a ^1⁄2 til å bety det samme som √a.

På tilsvarende måte kan elevene være med på å opphøye 4 i 1/3, 1/4 og så videre, og se at den naturlige definisjonen er

a^1⁄n= ⁿ√a

Nå kan elevene bruke potensreglene til å se at

a^m⁄n= (a^m) ^1⁄n= ⁿ√a^m

Refleksjon og oppsummering

La elevene øve på mange oppgaver med positive, negative og rasjonale eksponenter skrevet på potensform og som rotuttrykk. Etter hvert kan de få sammensatte oppgaver der reglene kombineres. Noen elever vil trenge enklere oppgaver der de bare kan gjøre om mellom ulike uttrykksformer, for eksempel

a^-3= 1⁄a³

3x⁰= 3

b^1⁄2= √b

Elevene arbeider sammen to og to og lager en oversikt/et tankekart med regler og eksempler. La elevene bidra til et felles tankekart på tavla.

Nå kan elevene lage oppgaver selv og spille «Midt i blinken» med terninger. Da vil de ikke lage vanskeligere oppgaver enn de selv kan løse, slik at dette automatisk vil gi differensiering i forhold til elevenes nivå. Beskrivelse av spillet: Kast fem terninger med to ulike farger. Den ene fargen skal gi positive tall og den andre negative. Bruk tallene som grunntall eller eksponenter, og alle skal brukes en gang. Lag regnestykker eller potensuttrykk som skal være nærmest mulig 10.

Underveisvurdering

Elevene kan teste seg selv når de spiller «midt i blinken». Du bør observere elevene og se hvem som trenger mer oppfølging. Her foreslår vi å bruke kjennetegn på høy måloppnåelse som vurderingsgrunnlag.