Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner

Eksempel 10: Eksponetiell og lineær vekst

Vg2, 2P

I dette eksempelet arbeider elevene med praktiske eksempler for å finne vekstfaktoren. De setter opp en formel for vekst og regner med eksponentiell vekst.

Kompetansemål det blir arbeidet med

Kompetansemål til dette opplegget er hentet fra hovedområdet tal og algebra og hovedområdet modellering.

2P Hovedområde tal og algebra i praksis Eleven skal kunne

  • rekne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberekningar og rekne praktiske oppgåver med eksponentiell vekst

2P Hovedområde modellering Eleven skal kunne

  • analysere praktiske problemstillingar knytte til daglegliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjonar og beskrive samanhengar mellom storleikar ved hjelp av matematiske modellar
Forslag til læringsmål

Dette opplegget tar utgangspunkt i deler av kompetansemålene. Vi har foreslått følgende læringsmål.

Eleven kan

  • bruke vekstfaktor i prosentregning og finne ny eller opprinnelig verdi etter en eller flere prosentvise endringer
  • regne med eksponentiell vekst
  • kjenne igjen og forklare lineære og eksponentielle sammenhenger i praktiske situasjoner
  • beskrive lineære og eksponentielle sammenhenger ved hjelp av matematiske modeller på formen  f (x) = ax+b og f (x) = a ⋅ bx
Grunnleggende ferdigheter

Progresjonen i regneferdighet kommer til uttrykk i at elevene bruker potensregning på praktiske problemstillinger og lager matematiske modeller. Elevene leser og forstår tabeller. De forklarer sammenhenger både skriftlig og muntlig. Elevene bruker digitale verktøy til å fremstille lineære og eksponentielle sammenhenger.

Forkunnskaper og introduksjon

Be elevene komme med eksempler på en situasjon der noe endrer seg med en fast verdi over tid (lineær vekst). Repeter hva en vekstfaktor er, og utfordre elevene til å komme med eksempler der vekstfaktoren er brukt. For eksempel: Verdien på en bolig har økt med 5 %. Hvordan kan vi finne ut hvor mye boligen er verdt nå? Hvis ingen elever foreslår å multiplisere med 1,05, kan du spørre om det går an å regne det ut direkte. Utfordre elevene på samme måten med en moped som synker i verdi med 8 %. Minn elevene på at dette heter vekstfaktor.

Utforsking og arbeid

Tabellen nedenfor viser hvordan verdien av en VW Passat, som var ny i 2009, endret seg i perioden 2009-2013.

Årstall 2009 2010 2011 2012 2013
Pris 350000 297500 252875 214944 182702

Gi elevene i oppgave å se på tallene og undersøke hvilken type utvikling dette er. Bruk gjerne digitale verktøy til å plotte punktene i et koordinatsystem for å sjekke om dette er en lineær utvikling. De vil da se at verdien ikke synker med et fast beløp, så dette er ingen lineær utvikling. Da kan de undersøke om det er eksponentiell endring. Hvordan kan vi gjøre det? Oppfordre elevene til å diskutere sammen og komme med forslag. Hint: De kan beregne prosentvis endring fra år til år for å finne ut om endringen er eksponentiell. For eksempel: 297500: 350000 = 0,85. Hvis det blir tilnærmet samme prosentvis endring hvert år, betyr det at verdien synker eksponentielt.

Regn ut hva verdien til bilen vil være

  • i 2014
  • når den er 10 år gammel

Går det an å sette opp en formel for hvor mye bilen er verdt etter x år? Undersøk om formelen stemmer for 2014, og når bilen er 10 år gammel.

Videre arbeid - Bruk digitalt verktøy til å finne en tilsvarende matematisk modell (regresjon).

Oppsummering og refleksjon

Les denne teksten for elevene: Farmoren til Daniel gir ham kr 20 000 som en engangssum i 10-årsgave. Dette er forskudd på arv, så pengene er låst til han er 20 år. Renten er 5 % pr år.

Gi elevene følgende utfordringer som de kan diskutere i grupper og presentere løsningene på.

  • Hvorfor øker en størrelse med 5 % når vi multipliserer med 1,05? (For eksempel 100 % +5 % = 105 % = 1,05)
  • Hvorfor avtar en størrelse med 8 % når vi multipliserer med 0,92? (100 % -8 % =92 % =0,92)
  • Hvordan kan vi regne hvis en størrelse øker med 5 % flere ganger?
  • Se på problemstillingen over. Hvor mye har Daniel i banken etter 20 år?
  • ”På sparekontoen til Eva står det nå 15 850 kr. Renta har ligget fast på 3 %. Hvor mye hadde hun på kontoen for 5 år siden?
  • Hvorfor dividerer vi med vekstfaktor?
  • Hva kjennetegner eksponentiell vekst?
  • Hva er forskjellen mellom eksponentiell vekst og lineær vekst som elevene arbeidet med i 1P (og vil arbeide mer med i forbindelse med modellering i 2P)?
  • Kjenner vi andre eksempler på lineær og eksponentiell vekst?La gjerne elevene først gå sammen to og to. Be dem komme med eksempler.
  • Hvordan kan vi avgjøre ut fra et datamateriale om en størrelse endrer seg eksponentielt eller lineært?

Arbeid gjerne også med å få fram typiske misoppfatninger:

  • Hvorfor koster ikke en vare det samme som før dersom prisen først blir satt opp med 10 % og senere satt ned igjen med 10 %?
  • Hvorfor har han ikke 20 000 + 20 x 50 kroner i banken etter 20 år?
  • Hvorfor bruker vi ikke 0,95 som vekstfaktor når vi skal regne ut hvor mye vi hadde i banken for fem år siden?

Elever som ikke klarer å forklare dette matematisk, kan bruke lommeregner eller regneark til å finne svarene på flere måter. Elever som har problemer med generalisering, kan velge tall selv, eller du kan foreslå tall som de kan teste ut påstandene på.

Elever som lett kan forklare dette, kan utfordres til å skrive forklaringene kortfattet, og med riktige matematiske begreper, symboler og uttrykk. De kan også utfordres til å formulere påstandene nedenfor generelt.

Underveisvurdering

Her foreslår vi å bruke kjennetegn på høy, middels og lav måloppnåelse som vurderingsgrunnlag.

Lav måloppnåelseMiddels måloppnåelseHøy måloppnåelse

Eleven

  • regner med prosent og bruker vekstfaktor i noen sammenhenger
  • bruker standardiserte metoder for å bestemme lineære og eksponentielle modeller og gjør beregninger i forhold til lineær og eksponentiell vekst i ferdig oppstilte standard oppgaver

Eleven

  • regner med prosent og bruker vekstfaktor i de fleste sammenhenger hvor dette er hensiktsmessig
  • bestemmer lineære og eksponentielle modeller og kjenner i noen grad igjen og regner med lineær og eksponentiell vekst

Eleven

  • regner med prosent, kan gjøre rede for og bruker vekstfaktor med sikkerhet
  • kan bestemme lineære og eksponentielle modeller, kan kjenne igjen, argumentere for, regne med og er bevisst på hva som kjennetegner lineær og eksponentiell vekst

Fant du det du lette etter?

0/250
0/250

Tusen takk for hjelpen!